Author: veritas

Proposition 13.

If a straight line stands on a straight line, then it makes either two right angles or angles whose sum equals two right angles.

두 직선이 만나면 이직각(180도)을 이루거나 두 각의 합이 이직각을 이룬다.

직선 $AB$와 $CD$가 두 각 $\angle CBA$와 $\angle ABD$를 만든다고 하자.

두 각의 합이 2직각임을 보이려고 한다.

만약 두 각이 모두 직각이라면 증명이 끝난다.

두 각이 직각이 아니라면 점 $B$에서 직선 $CD$에 수선 $BE$를 작도할 수 있다.두 각 $\angle CBE$와 $\angle EBD$의 합은 2직각이다.

$$\angle CBE =\angle CBA +\angle ABE$$

이므로 각각 $\angle EBD$를 더하면

$$\angle CBE+\angle EBD =\angle CBA +\angle ABE+\angle EBD$$

세 각 $\angle CBA$, $\angle ABE$, $\angle EBD$의 합은 2직각이다.

마찬가지로

$$\angle DBA =\angle DBE +\angle ABE$$

이므로 각각 $\angle ABC$를 더하면

$$\angle DBA +\angle ABC=\angle DBE +\angle ABE+\angle ABC$$

위에서 세 각을 더하면 2직각임을 보였으므로

두 각 $\angle DBA$, $\angle ABC$을 더하면 2직각이다.

$\blacksquare$

어쩌면 당연한 것을 어렵게 증명하고 있는 것처럼 보인다. 앞에서 이야기한대로 유클리드는 직각은 정의했지만 오늘날 쓰는 60분법으로 ${}^{\circ}$를 정의하지 않았다.  정의하지 하거나 공리로  세우지 않은 것은 쓸 수가 없다.

Proposition 12.

To draw a straight line perpendicular to a given infinite straight line from a given point not on it.

직선과 그 위에 있지 않은 한 점이 주어지면 그 점을 지나고 직선에 수직인 직선을 그을 수 있다.

직선 $AB$와 그 위에 있지 않은 한 점 $C$가 주어졌다고 하자.

점 $C$에서 직선 $AB$ 반대편에 있는 점까지 거리를 반지름으로 원을 그린다.

원과 직선 $AB$가 만나는 점을 각각 $D$, $E$라고 하자.

명제 11에서와 마찬가지로 두 점  $D$, $E$에서 반지름이 선분 $DE$의 길이인 원을 그려서 만나는 점을 잇는 직선은 $C$를 지나고 직선 $AB$에 수직이다.

$\blacksquare$

Proposition 11.

To draw a straight line at right angles to a given straight line from a given point on it.

직선 위에 주어진 점에서 수직인 직선을 그을 수 있다.

직선 $AB$ 위의 점 $C$가 주어졌다고 하자.

적당한 점 $D$를 잡고 점 $C$를 중심으로 반지름이 $\overline{CD}$인 원을 그려 점 $E$를 찾는다.

$\overline {CD}=\overline {CE}$인 두 점 $D,E$를 잡는다.

선분 $ED$를 한 변으로 하는 정삼각형을 그려서 점 $F$를 찾는다.

정리 10에서 $$\triangle{FEC}\equiv\triangle{FDC}$$

$$\therefore\;\angle{FCE}=\angle{FCD}$$

두 직선이 만날 때 이웃한 두 각이 같으므로 두 각은 모두 직각이다.

그러므로 직선 $CF$는 직선 $AB$에 수직이다.

$\blacksquare$

Proposition 10.

To bisect a given finite straight line.

선분의 이등분할 수 있다.

주어진 선분 $AB$를 이등분해보자.

선분 $AB$를 한 변으로 하는 정삼각형을 작도하는 과정을 다시 살펴 보자.

점 $A$와 $B$를 중심으로 선분 $AB$가 반지름인 원을 그려 만나는 점 $C$와 $D$를 찾는다.

$$\overline{AC}=\overline{BC},\overline{AD}=\overline{BD},\overline{CD}\;\;공통$$

$$\triangle{ACD}\equiv\triangle{BCD}$$

$$\therefore \angle{ACD}=\angle{BCD}$$

선분 $CD$와 $AB$가 만나는 점을 $E$라 하면

$$\overline{AC}=\overline{BC},\overline{CE}\;\;공통,\angle{ACD}=\angle{BCD}$$

$$\triangle{ACE}\equiv\triangle{BCE}$$

$$\therefore \overline{AE}=\overline{BE}$$

$\blacksquare$

Proposition 9.

To bisect a given rectilinear angle.

직선이 만나서 이루는 각을 이등분 할 수 있다.

$\angle{BAC}$을 이등분 하자.

직선 $AB$ 위에 적당한 점 $D$를 잡는다.

직선 $AC$ 위에 선분 $AD$와 같은 선분으로 자르는 점 $E$를 잡는다.

선분 $DE$를 한 변으로 하는 정삼각형을 작도한다.

$\overline{AD}=\overline{AE}$, $\overline{AF}$는 공통, $\overline{DF}=\overline{EF}$

명제 9에 따라 SSS합동이다.

$$\triangle{ADF}\equiv \triangle{AEF}$$

$$\therefore\;\;\angle{DAF}=\angle{EAF}$$

따라서 직선 $AF$는 $\angle{BAC}$을 이등분 한다.

$\blacksquare$

Proposition 8.

If two triangles have the two sides equal to two sides respectively, and also have the base equal to the base, then they also have the angles equal which are contained by the equal straight lines.

두 삼각형이 두 변이 서로 같고 밑변도 서로 같다면 각도 서로 같다.

이 명제는 삼각형이 합동이 될 세 가지 정리 SAS, SSS, ASA합동 가운데 두 번째 정리다. ‘합동’은 현대에 와서 정의한 것으로 유클리드는 합동을 따로 정의하지 않고 두 삼각형이 포개져 꼭 들어 맞으면 ‘두 삼각형이 같다.’고 정의했다. 명제 4에서 이미 SAS합동을 보였고 명제 26에 ASA합동이 나온다. 이 명제도 아주 당연해 증명할 필요가 있을까 생각할 것이다. 유클리드는 그렇게 생각하지 않았다. 당연해 보이는 것도 당연하다고 받아들이지 않은 것이 바로 유클리드가 보통 사람과 다른 점이다. 이 점이 바로 ‘원론’을 다른 책보다 뛰어나다고 말하는 까닭이다.

먼저 두 변이 $\overline{AB}$와 $\overline{AC}$가 $\overline{DE}$$\overline{DF}$가 각각 같고 밑변 $\overline{BC}$와 $\overline{EF}$라고 가정하자. 즉

$$\overline{AB}=\overline{DE},\;\;\;\overline{AC}=\overline{DF},\;\;\;\overline{BC}=\overline{EF}$$

이라고 하자.

점 $B$를 점 $E$와 포개 놓고 직선 $BC$와 $EF$를 포개 놓으면  $\overline{BC}=\overline{EF}$이므로 점 $C$와 $F$는 포개어진다.

따라서 두 변 $BC$와 $EF$가 일치한다.

$$\overline{AB}=\overline{DE},\;\;\;\overline{AC}=\overline{DF}$$

인 두 직선이 만나는 점을 $G$라고 하면 앞선 명제 7에 따라 그림처럼 $D$와 포개어 지지 않을 수 없다.

점 $G$와 $D$가 일치하므로 $\angle{BAC}=\angle{EDF}$이다.

그러므로 $$\triangle{ABC}\equiv\triangle{DEF}\tag{명제 4}$$

$\blacksquare$ 

Proposition 6.

If in a triangle two angles equal one another, then the sides opposite the equal angles also equal one another.

삼각형에서 두 각이 서로 같다면 마주보는 변들이 서로 같다.

$\triangle{ABC}$에서 $\angle{ABC}=\angle{ACB}$라고 하자.

$$\overline{AB}\not=\overline{AC}$$ 를 가정하고

변 $AB$가 $AC$보다 크다고 하자.

$\overline{DB}=\overline{AC}$인 점 $D$를 잡을 수 있다.

$\overline{BC}$는 공통이고 $\angle{ABC}=\angle{ACB}$이므로 명제 2에 따라

$$\triangle{ABC}\equiv\triangle{DCB}$$ 인데 모순이다.

따라서

$$\overline{AB}=\overline{AC}$$

$\blacksquare$

Proposition 7.

Given two straight lines constructed from the ends of a straight line and meeting in a point, there cannot be constructed from the ends of the same straight line, and on the same side of it, two other straight lines meeting in another point and equal to the former two respectively, namely each equal to that from the same end.

선분의 양 끝 점 시작해서 한 점에서 만나는 두 직선을 그었다면, 같은 선분의 양 끝 점에서 주어진 두 직선과 각각 같은 직선으로 같은 쪽에 있는 다른 점에서 만나게 할 수는 없다.

 

결론을 부정하자.

길이가 각각 같은 두 선분이 서로 다른 점 $A$와 $D$에서 만난다고 하자.

$$\overline{AB}=\overline{DB}\tag{1}$$

$$\overline{AC}=\overline{DC}\tag{2}$$

(1)이므로

$$\angle{BAD}=\angle{BDA}\tag{p-5}$$

$\angle{BDA}$는 $\angle{CAD}$보다 크다.

따라서 $\angle{CDA}$는 $\angle{CAD}$보다 확실히 크다.

그런데 (2)이므로

$$\angle{CAD}=\angle{CDA}\tag{p-5}$$ 인데 이것은 모순이다.

따라서 서로 다른 두 점에서 만날 수 없다.

유클리드는 위 그림처럼 점 $D$가 삼각형$ABC$ 밖에 있는 경우만 증명했다. 엄밀함을 추구하는 유클리드를 생각하면 이례적이다. 안쪽에 있는 경우도 쉽게 보일 수 있다.

Proposition 5.

In isosceles triangles the angles at the base equal one another, and, if the equal straight lines are produced further, then the angles under the base equal one another.

이등변 삼각형에서 두 밑각은 서로 같다. 변을 연장하면 밑각 아래에 있는 각도 서로 같다.

$\triangle ABC$는 $\overline{AB}=\overline{AC}$인 이등변 삼각형이라고 하자.

이제 $\angle{ABC}=\angle{ACB}$임을 보이자.

먼저 두 변 $\overline{AB},\overline{AC}$을 연장하고 그 위에 $\overline{AE}=\overline{AF}$인 두 점 $E$와 $F$를 잡는다.

$$\overline{AB}=\overline{AC}$$

$$\overline{AE}=\overline{AF}$$

$$\angle{BAC}=\angle{CAB}$$

명제 4에 따라서 두 삼각형은 합동이다.

$$\triangle{ABF}\equiv\triangle{ACE}$$

$$\angle{ABF}=\angle{ACE}\tag{1}$$

이제 $\triangle BEC$와 $\triangle CBF$에서

$$\overline{BE}=\overline{CF}\tag{CN-4}$$

$$\overline{CE}=\overline{BF}$$

$$\angle{BEC}=\angle{CFB}$$

$$\triangle{BEC}\equiv\triangle{CFB}\tag{명제-4}$$

따라서 $$\angle BCE=\angle CBF\tag{2}$$

(1)(2)에 따라서

$$\angle ABF -\angle CBF=\angle ACE-\angle BCE\tag{CN-4}$$

그러므로  $$\angle{ABC}=\angle{ACB}$$

$\blacksquare$

참고 평각이 180도라는 사실을 쓰면 쉽게 보일 수 있다. 하지만 유클리드는 명제 5에 앞서 평각이 모두 같다는 증명을 하지 않아서 위와 같이 조금 복잡하게 증명한 것이다.

이 명제를 증명하는 그림이 당나귀 다리를 닮았다고 Pons Asinorum로 부른다. ‘폰스 아시노룸’은 간단함에서 확신을, 느림에서 빠른 생각을, 모호함에서 분명함을 끌어내는 능력을 시험하는 결정적 문제를 은유하는 이름이다.

파푸스는 삼각형을 들어 올린 다음 뒤집어서 포개는 것으로 증명했다.

바로 이어지는 명제 6는 이 명제의 역이다.

Proposition 26.

If two triangles have two angles equal to two angles respectively, and one side equal to one side, namely, either the side adjoining the equal angles, or that opposite one of the equal angles, then the remaining sides equal the remaining sides and the remaining angle equals the remaining angle.

두 각이 각각 같고 한 변이 같은 두 삼각형은(서로 같은 변이 두 각과 모두 만나거나 건너편에 있는 변이라도) 나머지 각과 변도 서로 같다.

보통 교과서에 한 변과 양 끝각이 같다고 적지만 굳이 양 끝각일 필요는 없음을 금세 알 수 있다. 삼각형의 내각의 합은 180도로 일정하다는 명제를 증명하지 않았기 때문에 이 명제는 둘로 나누어 증명한다.

$\triangle{ABC},\triangle{ DEF}$이 있다.

$$\angle{ABC}=\angle{DEF} ,\angle{BCA}=\angle{EFD}\tag{1}$$ 라고 하자.

 

먼저 1. $\overline{BC}=\overline{EF}$라 하고 나머지 두 변과 각이 서로 같음을 보이자. (한 변과 양 끝각이 같은 경우)

즉, $\overline{AB}=\overline{DE}$와 $\overline{AC}=\overline{DF}$이고 $\angle {BAC}=\angle {EDF}$ 임을 보이기로 하자.

만약에 $\overline{AB}\not=\overline{DE}$이면 어느 하나가 클 것이다.

이때, $\overline{AB}>\overline{DE}$라고 하면 $\overline{BG}=\overline{DE}$인 점 $G$를 잡을 수 있다.

$\overline{BG}=\overline{DE}$, $\overline{BC}=\overline{EF}$, $\angle{ABC}=\angle{DEF}$이므로 명제 4에 따라서

$$\triangle GBC\equiv\triangle DEF$$

$$\angle{GCB}=\angle{DFE}$$

이것은

$$\angle{GCB}=\angle{ACB}\;\;\;(\because (1)\angle{BCA}=\angle{EFD})$$ 라야 하므로 모순이다.

$$\therefore \overline{AB}=\overline{DE}$$

명제 4에 따라

$$\triangle ABC\equiv\triangle DEF$$

 

2. 다음으로 $\overline{AB}=\overline{DE}$이고 $\overline{BC}\not=\overline{EF}$라고 하자.

만약에 $\overline{BC}\not=\overline{EF}$이면 어느 하나가 클 것이다.

이때, $\overline{BC}>\overline{EF}$라고 하면 $\overline{BH}=\overline{EF}$인 점 $H$를 잡을 수 있다.

위와 마찬가지로

$$\triangle ABH\equiv\triangle DEF$$ 이므로

$$\angle BHA=\angle EFD$$ 이다.

이것은

$$\angle BHA=\angle BCA\;\;\;(\because (1)\angle{BCA}=\angle{EFD})$$ 가 되므로 모순이다.

따라서 $\overline{BC}=\overline{EF}$이므로

$$\triangle ABC\equiv\triangle DEF$$

$\blacksquare$

이처럼 그냥 외우면 간단한 정리도 막상 증명하려고 하면 상당한 공을 들여야 한다. 오죽하면 뛰어난 수학자 데카르트도 이 과정이 힘들어서 해석기하학을 만들었을까?