명제 1 주어진 선분을 변으로 하는 정삼각형을 작도하라.
주어진 선분 $AB$를 반지름으로 두 점 $A,B$를 중심으로 하는 두 원을 그릴 수 있다. [p-3]
두 원의 교점을 $C$라고 하자.
두 점 $A$와 $C$, $B$와 $C$를 잇는 선분을 그릴 수 있다.[p-1]
$\overline{AB}=\overline{AC}$이고 $\overline{AB}=\overline{BC}$이다.
공통관념 1에 따라 $\overline{AC}=\overline{BC}$이다.
정삼각형을 작도하였다.
사실 여기에 살짝 부족함은 있다. 두 원이 교차할 때 만나는 점이 반드시 존재한다고 하려면 선이 완비성을 가지고 있다는 공리가 필요하다. 이 부분은 훗날 수학자가 완비성 공리로 보완하였다.